美国留学

网络上关于中国数学优越与美国人劣势的争论从未停止过。这似乎已经成为一个全国性的话题。无论是熟悉教育的人还是不熟悉教育的人都想就这个问题说几句话，很多人都很有说服力，很生动。但事实上，大多数人只是道听途说，视而不见。多说没有意义。解决争吵最有效的方法只有一种，那就是举出真实的例子。

本文将带你了解一下美国高中数学课教什么，他们的高考题又是什么样的？

首先，“美国高考”这个词其实不太恰当。由于美国大学招生采用的是申请制，它没有像中国高考那样有“最终决定”的考试，而是非常灵活多样。美国有很多不同的课程体系，每个体系都有自己相应的考试。学生可以选择任何系统的课程并参加考试，获得的成绩可以作为申请大学的依据。目前，世界上最流行的课程体系有AP、IB、A-level等。对于美国学生来说，他们通常在高一就选修微积分入门课程。中文名称是预备微积分。顾名思义，是学习微积分之前必须学习的基础知识，但实际上内容其实是国内学生高中三年所学的内容，主要包括：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、圆锥曲线、向量、立体几何、极坐标、复数、序列、矩阵、概率统计等。可以看出内容与我国高中课程内容基本一致。但因为他们用一年的时间就学会了以上所有内容，所以学得很轻松，题目难度也比国内低很多。

学习完这些内容后，您将参加名为SAT2 的考试。 SAT2是全球标准化考试，这意味着全世界所有符合条件的学生都可以报名参加，然后以此为基础申请美国大学。

我刚才说了，美国的数学试题难度远不如中国。让我举几个例子。

SAT2考试的考试范围与我国高考基本相同。我将给出一些SAT2数学考试的题目，以便读者可以将其与我们的高考进行比较。

首先我们先来一道关于美国高中直线方程的题。这部分直线方程主要包括斜截式、点斜式、一般形式以及两条直线位置的确定。问题如下：

垂直的意思是垂直的。问题是问五个选项中哪一条直线与问题给出的直线垂直。这个问题很简单。只要知道两条垂直直线的斜率互为负倒数，则答案为D。

对于下一个问题，我们将举一个三角函数的例子。

一般的想法是是锐角。给定sin 的值，求cos 等于什么。问题本身也很简单。它检查了双角公式：cos2=1-2sin

故可算出答案为A。

让我们再举一个数字序列的例子。

题意是：等差数列中，第二项是7，第六项是23，第90项是多少？

使用(23-7)(6-2)得到的是容差4，然后在第二项上加上88个4，得到第90项，结果是359

让我们再举一个圆锥曲线的例子。

这道题告诉你椭圆的方程。它的长轴长度是多少？

你可以将这个方程两边同时除以48，将其变成椭圆的标准方程。然后可以看到它的长轴在纵轴上，正确的结果是C。

好吧，我们就举这4个例子。通过这4个例子，我们可以明显感觉到美国数学题的难度远低于中国。更重要的是，他们在考试期间可以使用计算器。我相信对于中国学生来说，即使是最差的学生也能瞬间解决这些问题。所以我们经常在新闻报道中看到某个“学生”在美国考试中考了多高，或者美国考试管理机构因怀疑中国学生作弊而取消了他们的分数，因为他们的分数太高了。所以这并不奇怪。

在这里我还想多说一件事。网络上经常有人批评中国的教育是应试教育。学生都是解题机器，只能解决难题，而不能深化数学概念的内涵。我想问一个问题，如果一个人做了我上面提到的那种题，他对数学概念的理解能不能更深一些呢？

上面列出的问题只是SAT2 考试的问题。美国学生基本上在高一就参加这个考试。进入高二后，他们的学习内容与国内有所不同。他们将学习微积分。然而，他们学的微积分实际上并不是完整的微积分。相反，大学一年级的微积分课程被删除和简化，放在了高二。这就是所谓的AP微积分，全称是Advanced Placement。即本科预科课程。学生完成学习后，将参加AP考试。考试的内容和我们高等数学基本一样，但是题目的难度也低了很多。而他们的考试分为两个级别：AB和BC。 AB的主要内容包括极限、导数、积分和微分方程。 BC比AB更难。在AB的基础上，增加了参数方程和极坐标的微积分，以及无穷级数。让我举一些例子。

第一个例子是衍生部分的内容，选自2018年考试题

本题考察函数导数在某一时刻的定义。根据右边的lim公式可以看出，它求的其实是f(x)在x=-1处的导数，所以只需要计算f'(-1)即可，正确答案是A。

下一个例子是分数部分，选自2016年考试题

这里我们用代换法，令u=e^x-1，我们可以得到答案是C

当然，AP考试中不仅有选择题，还有大题，这是学生最头疼的部分。特别是最后一个大问题是关于无穷级数的。每年的分数线都很低。我可以给你举个例子，让你感受一下。以下是2015年考试最后一道大题

问题中给出了一个幂级数，(a) 问题是求它的收敛半径； (b) 问题要求你写出这个幂级数的导数f'(x) 和函数f(x) 的麦克劳林展开式； (c) 要求你写出ef(x) 的三阶麦克劳林展开式。

这个问题对于高中生来说是相当困难的。但事实上，课堂上类似这样的问题还有很多。只要学会了方法，解决这道题就不成问题了。参考答案如下：

通常，学生根据SAT2 和AP 考试成绩申请大学。但为了获得更高的赌注，有些学生会参加更高级别的考试，也就是所谓的AMC。 AMC相当于我国的数学奥林匹克，或者更具体地说是全国高中数学联赛。近年来，美国学生对此越来越重视。许多学习成绩优秀的学生都会参加AMC考试。 AMC考试从易到难分为三个级别。最高级别是AMC12。每门考试有25 个问题。难度是严格的。从简单到困难排列，我以2020年AMC12考试第22题为例。从题数来看，这是一道相当难的题。

其中an和bn是两个实数序列，i是虚数单位，求下列连续加号表达式的值。完整答案如下

好了，举了这么多例子，相信你对美国高考和数学教育体系已经有了初步的了解。可见，中美教育在教育方法、教育理念上存在着明显的差异。首先我要说的是，两者之间只有区别，并没有优劣之分。中美两国的数学教育方法各有优缺点。这并不意味着美国的教育就一定比国内的教育好。美国的数学教育也有非常不好的方面，而中国的数学教育也有很多优点。我们要全面比较，不能一棍子打死。

结论美国数学教育的缺点之一是过于宽泛，涵盖的知识点广泛。不仅涵盖了中国高中全部三年，还包括大学一年级的微积分。许多学生甚至在高中最后一年参加大学课程。线性代数、多元微积分、初等数论、微分方程、集合论和逻辑等课程。这种教育方式最大的问题就是什么都可以学，但什么都学不好。他们所有的数学课程都非常简单明了。从上面给出的SAT2试题的例子中我可以很清楚地看到这一点。每一个知识都只是一个简单的概念和简单的公式。你只需要学会把数字放进去就可以了。只需做公式中的问题即可。在这种情况下，就不可能深入理解数学概念的本质。

上面的AP微积分考试题是比较难的，但是可以看出，和我们真正的高等数学相比，它只考了非常简单的概念，题目也不会变形太多。

只有上面列出的高中生的线性代数等课程才有真正的深度。但首先，并非所有学生都必须参加这些课程。其次，因为高一、高二学的东西比较简单，基础不是很扎实，所以很多学生在学习这些科目时会遇到很大的困难。

美国数学教育的第二个问题是所谓的分层制度，即国内部分人的“精英教育”。即每门课程都会根据难度分为不同的级别，学生可以根据自己的实际情况进行选择。这样，学习能力差的学生会选择容易的课程，而能力较好的学生会选择困难的课程，他们之间的差距会进一步拉大。因此，美国学生的两极分化极为严重。最差的学生在进入高中时甚至可能不会进行分数加减法，而最好的学生甚至可能在高中毕业时就能够熟练求解微分方程。据我观察，美国绝大多数人的数学水平都属于较差的范畴。只有极少数的精英能够真正从事数学研究。

另一方面，我们国家已经实现了人人最终的平等。无论全国哪个地方、哪个学校，无论学生能力好坏，他们学习的内容都是一样的。有意识的学生会自己努力，但无意识的学生、同学、老师、家长会天天追着你逼你努力。所以总体来说，中国学生的数学基础是非常扎实的。很多年前，张艺谋有一部电影叫《一个都不能少》。表示中国老师敬业认真，要照顾好班上的每一个学生。这种事情不会发生在美国。我想这就是中国教育的可取之处。