美国留学

网络上关于中国数学优越与美国人劣势的争论从未停止过。这似乎已经成为一个全国性的话题。无论是熟悉教育的人还是不熟悉教育的人都想就这个问题说几句话，很多人都非常有说服力，很生动。但事实上，大多数人只是道听途说，视而不见。多说没有意义。解决争吵最有效的方法只有一种，那就是举出真实的例子。

本文将带你了解一下美国高中数学课教什么，他们的高考题又是什么样的？

首先，“美国高考”这个词其实不太恰当。由于美国大学招生采用的是申请制，它没有像中国高考那样有“最终决定”的考试，而是非常灵活和多样。美国有很多不同的课程体系，每个体系都有自己相应的考试。学生可以选择任何系统的课程并参加考试，获得的成绩可以作为申请大学的依据。目前，国际上最流行的课程体系有AP、IB、A-level等。对于美国学生来说，他们通常在高一就选修微积分入门课程。中文名称是预备微积分。顾名思义，是学习微积分之前必须学习的基础知识，但实际上内容其实是国内学生高中三年所学的内容，主要包括：线性函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数、圆锥曲线、向量、立体几何、极坐标、复数、序列、矩阵、概率统计等。可以看出内容与我国高中课程内容基本一致。但因为他们用一年时间就学会了以上所有内容，所以学得很轻松，题目难度也比国内低很多。

学习完这些内容后，您将参加名为SAT2 的考试。 SAT2是一项全球标准化考试，这意味着全世界所有符合条件的学生都可以报名参加该考试，然后据此申请美国大学。

我刚才说了，美国的数学试题难度远不如中国。让我举几个例子。

SAT2考试的考试范围与我国高考基本相同。我将给出一些SAT2数学考试的题目，以便读者可以将其与我们的高考进行比较。

首先我们先来一道关于美国高中直线方程的题。这部分直线方程主要包括斜截式、点斜式、一般形式以及两条直线位置的确定。问题如下：

垂直的意思是垂直的。问题是问五个选项中哪一条直线与问题给出的直线垂直。这个问题很简单。只要知道两条垂直直线的斜率互为负倒数，则答案为D。

对于下一个问题，我们将举一个三角函数的例子。

一般的想法是是锐角。给定sin 的值，求cos 等于什么。问题本身也很简单。它检查了双角公式：cos2=1-2sin

故可算出答案为A。

让我们再举一个数字序列的例子。

题意是：等差数列中，第二项是7，第六项是23，第90项是多少？

使用(23-7)(6-2)得到的是容差4，然后在第二项上加上88个4，得到第90项，结果是359

让我们再举一个圆锥曲线的例子。

这道题告诉你椭圆的方程。它的长轴长度是多少？

你可以将这个方程两边同时除以48，将其变成椭圆的标准方程。然后可以看到它的长轴在纵轴上，正确的结果是C。

好吧，我们就举这4个例子。通过这4个例子，我们可以明显感觉到美国数学题的难度远低于中国。更重要的是，他们在考试期间可以使用计算器。我相信对于中国学生来说，即使是最差的学生也能瞬间解决这些问题。所以我们经常在新闻报道中看到某个“学生”在美国考试中考了多高，或者美国考试管理机构因为中国学生分数太高而怀疑他们作弊而取消了他们的成绩。所以这并不奇怪。

在这里我还想多说一件事。网络上经常有人批评中国的教育是应试教育。学生都是解题机器，只能解决难题，而不能深化数学概念的内涵。我想问一个问题，如果一个人做了我上面提到的那种题，他对数学概念的理解能不能更深一些呢？

上述问题仅是SAT2 考试的问题。美国学生基本上在高一就参加这个考试。进入高二后，他们的学习内容与国内有所不同。他们将学习微积分。但他们学的微积分实际上并不是完整的微积分。相反，大学一年级的微积分课程被删除和简化，放在了高二。这就是所谓的AP微积分，全称是Advanced Placement。即本科预科课程。学生完成学习后，将参加AP考试。考试的内容和我们高等数学基本一样，但是题目的难度也低了很多。而他们的考试分为两个级别：AB和BC。 AB的主要内容包括极限、导数、积分和微分方程。 BC比AB更难。在AB的基础上，增加了参数方程和极坐标的微积分，以及无穷级数。让我举一些例子。

第一个例子是衍生部分，选自2018年考试题

本题考察函数导数在某一时刻的定义。根据右边的lim公式可以看出，它求的其实是f(x)在x=-1处的导数，所以只需要计算f'(-1)即可，正确答案是A。

下一个例子是分数部分，选自2016年考试题

这里我们用代换法，令u=e^x-1，我们可以得到答案是C

当然，AP考试中不仅有选择题，还有大题，这是学生最头疼的部分。特别是最后一个大问题是关于无穷级数的。每年的分数线都很低。我可以给你举个例子，让你感受一下。以下是2015年考试最后一道大题

问题中给出了一个幂级数，(a) 问题是求它的收敛半径； (b) 问题要求你写出这个幂级数的导数f'(x) 和函数f(x) 的麦克劳林展开式； (c) 要求你写出ef(x) 的三阶麦克劳林展开式。

这个问题对于高中生来说是相当困难的。但事实上，课堂上类似这样的问题还有很多。只要学会了方法，解决这道题就不成问题了。参考答案如下：

通常，学生根据SAT2 和AP 考试成绩申请大学。但为了获得更高的赌注，有些学生会参加更高级别的考试，也就是所谓的AMC。 AMC相当于我国的数学奥林匹克，或者更具体地说是全国高中数学联赛。近年来，美国学生对此越来越重视。许多学习成绩优秀的学生都会参加AMC考试。 AMC考试从易到难分为三个级别。最高级别是AMC12。每门考试有25题，难度严格。从简单到困难排列，我来考2020年AMC12考试的第22题。从题数来看，这是一道相当难的题。

其中an和bn是两个实数序列，i是虚数单位，求下列连续加号表达式的值。完整答案如下

好了，举了这么多例子，相信你对美国高考和数学教育体系已经有了初步的了解。可见，中美教育在教育方法、教育理念上存在着明显的差异。首先我要说的是，两者之间只有区别，并没有优劣之分。中美两国的数学教育方法各有优缺点。这并不意味着美国的教育就一定比国内的教育好。美国的数学教育也有非常不好的方面，而中国的数学教育也有很多优点。我们要全面比较，不能一棍子打死。

结论美国数学教育的缺点之一是过于宽泛，涵盖的知识点广泛。它不仅涵盖了中国高中三年的全部内容，还包括大学一年级的微积分。许多学生甚至在高中最后一年参加大学课程。线性代数、多元微积分、初等数论、微分方程、集合论和逻辑等课程。这种教育方式最大的问题就是什么都可以学，但什么都学不好。他们所有的数学课程都非常简单明了。从上面给出的SAT2试题的例子中我可以很清楚地看到这一点。每一个知识都只是一个简单的概念和简单的公式。你只需要学会把数字放进去就可以了。只需做公式中的问题即可。在这种情况下，就不可能深入理解数学概念的本质。

上面的AP微积分考试题是比较难的，但是可以看出，和我们真正的高等数学相比，它只考了非常简单的概念，题目也不会变形太多。

只有上面列出的高中生的线性代数等课程才有真正的深度。但首先，并非所有学生都必须参加这些课程。其次，因为高一、高二学的东西比较简单，基础不是很扎实，所以很多学生在学习这些科目时会遇到很大的困难。

美国数学教育的第二个问题是所谓的分层制度，即国内某些人的“精英教育”。即每门课程都会根据难度分为不同的级别，学生可以根据自己的实际情况进行选择。这样，学习能力差的学生会选择容易的课程，而能力较好的学生会选择困难的课程，他们之间的差距会进一步拉大。因此，美国学生的两极分化非常严重。最差的学生在进入高中时甚至可能不会进行分数加减法，而最好的学生甚至可能在高中毕业时就能够熟练求解微分方程。据我观察，美国绝大多数人的数学水平都属于较差的范畴。只有极少数的精英能够真正从事数学研究。

另一方面，我们国家已经实现了人人最终的平等。无论全国哪个地方、哪个学校，无论学生能力好坏，他们学习的内容都是一样的。有意识的学生会自己努力，但无意识的学生、同学、老师、家长会天天追着你逼你努力。所以总体来说，中国学生的数学基础是非常扎实的。很多年前，张艺谋有一部电影叫《一个都不能少》。表示语文老师敬业、认真、负责，必须照顾好班上的每一个学生。这种事情不会发生在美国。我想这就是中国教育的可取之处。