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表征理论最初被忽视。它现在是许多数学研究的核心。

上图直观地展示了李群。通过以这种方式简化复杂对象，数学家能够理解复杂对象的各个方面。

当表示论在19 世纪末出现时，许多数学家质疑它的价值。 1897年，英国数学家威廉·伯恩赛德表示，他怀疑这些非正统的想法能否产生任何新结果。

悉尼大学的乔迪·威廉姆森(Geordie Williamson) 在2015 年的一次演讲中表示：“伯恩赛德的要点是：表征理论毫无用处。”

自提出一个多世纪以来，表示论一直是数学领域许多最重要发现的关键。然而，最初很难看到它的用途。

德国凯泽斯劳滕技术大学的艾米丽·诺顿说：“目前还不能立即看出它是一个合法的研究对象。”

表示论是一种用简单对象“表示”复杂对象的方法。这里的“复杂对象”通常是指数学对象（如数字或对称运算）的集合，它们之间的关系形成一定的结构。这些集合称为组。 “简单对象”是数字数组，称为矩阵，是线性代数的核心。群是抽象的，通常很难使用，而矩阵和线性代数则非常基础。

波士顿大学的贾里德·韦恩斯坦(Jared Weinstein) 表示：“数学家基本上了解矩阵的一切，这是数学中为数不多的易于理解的主题之一。”

为了理解矩阵如何表示群，有必要一一查看它们是什么。

首先介绍一下团体。

举一个非常简单的例子，考虑等边三角形的六种对称性：

两种旋转对称（旋转120度或240度）；

三次镜面反射是对称的（沿着等边三角形的三条中线的反射）；

恒等对称（不对三角形进行操作）。

两个旋转对称

三镜面反射对称

恒等对称性

这六种对称运算构成了一个封闭的元素集合：群，其学名为S3。它们之所以形成一组，是因为它们具有这样的性质：如果选择任意数量的运算并以任意顺序应用于三角形，结果只能相当于一次对称运算。

一个简单的例子：镜面反射一个三角形，然后将其旋转120 度，改变三角形三个顶点的顺序。如果您再进行一次镜面反射，您将看到顶点顺序发生相同的变化。

“我先做这个，然后做那个。重要的是结果仍然是三角形的对称运算。”诺顿说。

数学家将两个对称运算的组合称为组合：组中的一个运算（反射）与另一个运算（旋转）组合以产生第三个运算（另一个反射）。就像数学家一样，您可以将组合视为乘法运算。

“我们喜欢将运算视为乘法，尽管我不是在乘以数字，而是在乘以变换，”诺顿说。

为了简单起见，我们可以考虑非零实数，以及定义的各种运算，它们也形成一个群。任何实数在“组合”或“乘”1之后都保持不变。您也可以以任何顺序乘以任何实数，结果仍然是实数。数学家说一组实数在乘法下是“封闭的”，这意味着如果你只是将元素相乘，结果将始终落在该组内。

自1830 年左右发现以来，群已成为数学中最重要的元素之一。它们编码素数、几何空间以及数学中最关心的几乎所有内容。解决一个重要问题通常取决于对与之相关的群体的理解。但对于大多数群体来说，它比等边三角形更难理解。例如，“李群”不仅包含六个元素，而且包含无限多个。

“团体有时真的很复杂，”韦恩斯坦说。

这将我们带入了表示论，它将我们从神秘的群世界带到了可以很好约束的线性代数领域。

线性代数研究作用于向量（有向线段）的简单变换。它们是根据坐标定义的，并且可以以矩阵（数字数组）的形式表示。

矩阵作用于向量以对其进行变换。例如，矩阵：

作用是将向量长度拉伸到原来长度的两倍。这是“线性”变换的示例。

其他矩阵对向量执行不同类型的线性变换，例如反射、旋转和剪切。单位矩阵不会以任何方式改变向量（就像三角形的单位对称或实数的1 一样）：

线性代数具体化了这些变换背后的算术过程。矩阵可以像处理普通数字一样轻松地进行乘法、加法和减法。

根据一定的规则，群中的每个元素都被分配一个矩阵——的表示理论。这样，该理论在群论和线性代数之间架起了一座桥梁。例如，必须为组的单位分配一个单位矩阵。这种分配必须考虑组中元素之间的关系。如果反射运算乘以旋转等价于第二次反射，那么它们对应的矩阵也应该满足前两者（第一次反射和旋转对应的矩阵）等于后者（第二次反射对应的矩阵）反射）。 ）。满足这些要求的矩阵集合称为群的表示。

该表示形式给出了群体的简化图像，就像黑白图片是原始彩色图片的低成本模仿一样。换句话说，它“记住”了有关该群体的一些简单但重要的信息，但“忘记”了其他信息。数学家不会过于关注群的全部复杂性，而是将其转换为线性变换等简约形式，然后通过观察其行为来掌握其属性。

“我们不需要立即开始研究群；我们可以通过观察更小的表示来了解群的属性，”诺顿说。

几乎所有群体都有多种代表。例如，S3群具有三种不同的实数矩阵表示：平凡表示、反射表示和符号表示。

数学家将群的表示组织并总结在表——的特征表中。特征表总结了组的信息。表的每一行对应着不同的表示，每一列对应着表示中的一个重要矩阵：常量元素和生成元的表示矩阵（利用这两个群元素，可以构造群的所有元素）。表的内容是每个矩阵的迹，即矩阵左上角到右下角对角线上的元素之和。下面是S3组的三种表示的特征表：

签名表提供了人口的简化图片，其中每种表示形式提供的信息略有不同。数学家将表征所提供的各种观点结合起来，形成对群体的整体印象。

“不同的表征会‘记住’不同的事情，当你把所有信息放在一起时，你就会得到关于这个群体的万花筒图像。”

数学家一眼就能看出上面的特征表属于S3群。然而，有时同一个特征表可以代表多个组。简化时无法避免一定程度的歧义或歧义。

对于这些模棱两可的情况，数学家可以使用其他工具。实现此目的的一种方法是使用不同的数字系统构建表示。上面使用实数矩阵表示S3 组，但您也可以使用复数矩阵（矩阵的每个元素由实部和虚部组成）。事实上，大多数表示理论都是这样做的。

有一些既不使用实数也不使用复数的富有成效的表示。它们的矩阵元素取自简化的或“模”数字系统，我们称之为“模”。以时钟数学结构为例，时针从0 开始，7+6 小时后等于1。具有相同实数签名表的两个组可能具有不同的模表示签名表，因此可以区分。

如今，表示论是许多数学研究领域的核心工具：代数、拓扑、集合、数学物理和数论，包括影响深远的朗兰兹纲领。

“在20 世纪下半叶，表示论哲学在数学世界中得到了疯狂的扩展，”威廉姆森在接受采访时说道。

表示论——，特别是模表示——，在Andrew Wiles 1994 年对费马大定理（方程an+bn=cn 是否有正整数解）的里程碑式证明中发挥了重要作用。Wiles 证明了不存在这样的正整数解n2。总的来说，他相信如果存在这样的解决方案，它将导致一个具有非常不寻常特性的群（或椭圆曲线）。这些特性是如此不寻常，以至于它们可以作为群体不存在的证据。然而，直接证明是非常困难的。怀尔斯采取了不同的方法，并从该组的一系列模块化表示开始。它证明了一系列模表示不能存在，也就是说这个群（或椭圆曲线）不能存在，进而说明这个整数解不能存在。

一百年前，威廉·伯恩赛德抛弃了表征理论；一个世纪后，表示论成为20 世纪最著名的证明的核心。

韦恩斯坦表示：“如果费马大定理的最终证明不能代表理论，我不确定它是否还能被证明。”作者：Kevin Hartnett 翻译：xux 审稿人：Nuor 原文链接：https://www.quantamagazine.org /the-useless-perspective-that-transformed-mathematics-20200609/tianfutianlixiangshangtime 今天我们将赠送由以下机构提供的优质科普书籍《BBC宇宙三部曲》江苏凤凰科学技术出版社.《BBC宇宙三部曲》 —— 宇宙的起源、宇宙的光、宇宙的星尘。这套书由BBC科普团队精心创作，并经过中科院专家团队翻译审核。它打破了传统的书写方式，抛弃了长期积累的信息，采用极简的形式，重点讲述了人类探索宇宙的过程和理解天文学的关键知识点。并选取天文学中最具代表性的三个主题：最基本的主题，宇宙的起源；最受关注的主题，明星；还有最神秘的主题，小天体。通过它们，你可以了解天文学的全貌。 【互动提问：关于理论发展成为学科，你知道哪些故事？ 】请严格按照互动格式：问答并在评论区留言参与互动。不符合格式的，视为无效。 *本活动仅在微信平台进行编辑：aki