美国留学

作者|陈伟扬（国立彰化师范大学科学教育研究所博士生）、温玉春（现任国立彰化师范大学科学教育研究所任教）

来源| 《数学传播》 2022年第46卷第4期（184），感谢《数学传播》授权转载！

摘要：学习证明是高等数学的重要学习指标。除了解释和交流的功能外，证明在数学系的实践课中，无论是教学、作业还是考试，都占有非常高的比例。本文介绍了数学证明中可能出现的错误，并根据其特点进行了分类。有十个亚型，分为三大类。本文所示的例子尽可能使用现有文献中出现过的例子。希望这些类别的引入能够提高证明学习初学者对证明的理解，也能让专业数学老师写出更好的证明文本。

关键词：数学证明，证明错误。

1 引言长期以来，数学证明被视为数学的中心和数学教育的重点[5][12]。它也是专业数学实践的核心要素[21]。数学证明在数学教学中起着非常重要的作用。例如，证明可以用来验证数学猜想[12][23]。此外，证明还发挥其他作用：解释[23]和沟通[4][6][16][23]。从解释的角度来看，数学家使用证明来解释为什么定理是正确的[21]。此外，证据可以用来说服他人和自己[9]。从交流的角度来看，证明可以作为数学家之间传递数学知识的工具[4][6]，以及与数学领域同行交流思想的工具[12]。换句话说，数学家可以通过证明与同行或学生进行交流[16]。在学习方面，证明可以使学生获得有意义的数学体验[26]。除了让学生相信定理是正确的之外，还可以让学生获得数学写作能力，增加对证明内容的理解[28][31]。如果我们关注大学数学系的课堂，证明是教学解释的主要形式[14][15]。

由于证明在数学教育中的重要性，课程设计者也会强调证明在数学课程中的作用。数学教育研究人员认为，在中学数学课程中持续接触证明内容可以使大多数学生保持连贯性[19]和一致性[27]，也使学生更容易在中学数学证明密集型课程中取得成功。未来[27]。事实上，世界各地的课程标准也强调推理和证明的重要性。以美国为例，全国数学教师委员会[NCTM，[18]]提倡使用推理和证明结构作为数学理解的一部分。 NCTM[18]还建议学生应具备以下四种能力：认识到推理和证明是数学的必要且重要的组成部分；提出猜想并检验猜想是否正确；开发和评估数学论证和数学证明；并选择适当的推理形式。及证明方法。在台湾，国立教育研究院[1]提出，除了数学知识外，符号运用、运算、推理、证明等四种能力的培养也应纳入十二年国民教育的主轴。数学领域。国教院[1]还特别强调，数学领域的内容要提及证明学习，例如无理数的证明、数学归纳法的证明。

综上所述，并参考国内外国家教育单位提出的实施政策，可以看出，数学证明的理解和学习在数学教育中起着举足轻重的作用，其重要性可见一斑。同样，数学证明错误类型的分类也很重要，原因有以下三个：

(1) 减少写数学证明时的错误

了解数学证明中的错误类型的人可以在自己编写数学证明时防止错误，因为他们已经知道可能出现哪些类型的错误，并且可以在检查时对其进行分类，以避免在编写证明时出错。

（2）为大学教师确认学生证书提供参考

在高等教育课堂上，教师需要确认学生撰写的证明，例如考试和作业中的证明问题。除此之外，教师需要深入了解数学证明的不同过程，以便解释和回应学生的论点[25]。由于证明可能没有唯一的解决方案，因此不一定必须将其写为最佳解决方案才能正确。因此，当学生写出错误的证明时，错误的原因不应该是与最佳解不同，而必须指出学生的答案是错误的。哪里和为什么不是有效的证明。了解数学证明中错误类型的教师可以增加发现错误的可能性，因为他们已经知道可能发生什么类型的错误。因此，了解数学证明错误的类型可以提高教师发现学生证明错误的能力。

（3）提供大学教师设计的教材作为参考

确认证明是否有效是学生的一项重要能力。当学生确认一个证明时，他们必须决定该论证是否可以接受，并且可以为学生对证明的理解带来不同的视角[8]。为了培养学生的这种能力，教师可以设计一些错误的证明供学生确认。对于有错误的证明，设计者想要在证明中安排的错误类型是证明验证任务的关键。如果有一个错误类型的分类可供参考，设计者就可以更容易、更有效地设计出错误的数学证明，从而训练学生的证明验证能力。

然而，目前的文献并没有提供数学证明错误类型的完整分类，大多数研究仅介绍了某些类型的证明错误。下面对现有文献中提到的证明错误类型进行介绍：徐结言[2]用例子展示了数学归纳法中可能出现的错误，包括归纳步骤不适合基本步骤、基本步骤遗漏等。特殊情况按特殊情况处理。证明； Selden和Selden[22]的研究材料中出现了三类错误：大量错误、认知差距、证明方向相反； Inglis、Mejia-Ramos、Weber 和Alcock[11]从宏观角度将错误分为两类：行间推理错误和解释不充分的认知差距； Ko和Knuth[13]同样从宏观角度将研究工具中使用的问题错误分为两类：整体结构错误、行中错误和行间推理错误； Wheeler和Champion[30]重点关注一对一和属性的证明，并在编码表中列出了学生犯的错误：符号使用不正确、证明难以理解、变量使用混乱、认知差距、计算错误、变量未声明、一对一的定义不清楚、假设结论正确、不理解实数的性质、混淆一对一和onto的定义、使用特殊情况作为证明； Stavrou[24]列出了四种可能的错误：使用特殊情况作为证明、假设结论正确、验证充分必要条件而没有双向证明、不理解数学定义。其中，英格利斯等人。 [11]以及Ko和Knuth[13]使用宏观角度来区分错误类型，但缺乏详细描述。尽管Xu Jieyan [2]、Selden和Selden [22]以及Stavrou [24]已经列出了更清晰的描述，但仍然存在未提及的错误类型。虽然Wheeler和Champion[30]提到了许多错误类型，但他们对错误类型的描述集中在一对一和证明上，而缺乏在其他证明情况下出现的错误类型。

由于目前还没有文献提供更完整的错误类型分类，数学读者可能不清楚数学证明中可能出现的错误类型。鉴于此，作者专门对数学证明错误的类型进行了分类。与上面介绍的文献不同，这种分类既是宏观的，也是微观的。三大类下又分有不同的亚型，以供日后参考。对设计证明验证任务感兴趣的读者可以更轻松地进行错误类型描述和文本设计。在本文中，我们介绍了证明错误的类型，如表1所示。将错误类型分为三大类：误解、推导错误和其他。神话概念有五种错误子类型，推导错误有三种错误子类型，其他错误有两种错误子类型。误解类型包括对证明方法、证明结构、数学定义或符号的误解；推导错误类型主要探讨行间推理的错误；以及其他类型用于补充上述两种类型。虽然有例外，但在学生的回答中确实很常见。本文的下一部分将更详细地介绍这些内容。

表1：证明错误类型、子类型和相关定义

2. 数学证明错误的类型

如表1所示，这十种证明错误分为三类，并根据需要进一步分为一些子类型。大多数这些错误类型的例子可以在现有的实证研究中找到。以下是演示错误类型的介绍：

(一)神话概念的类型

误解类型的证明错误有五种子类型。前四类是对证明的误解，第五类是对定义的误解。对证明的误解是指不知道什么是证明或不了解特殊的证明结构，包括：不知道所使用的变量需要声明、将例子视为有效证明、在证明开始时假设结论为真、并且不知道如何完全理解证明。必要条件的证明需要两个方向证明，证明方法的结构不明确。定义误解的概念是指证明中使用的定义不够明确，不正确的使用导致错误的证明。由神话概念引起的书写证明错误几乎只发生在证明初学者（大学生以下）中。由于数学家（指专业研究人员或大学教师）神话概念较少，因此很少出现在数学家中。写出证明。各亚型的详细信息如下：

出现未声明的变量

这种错误类型是指在校样过程中出现未定义或未声明的变量。之所以被归类为神话概念类型，是因为证明的作者不知道变量的使用需要声明，并且证明中存在关于变量使用的神话概念。由于数学语言经常使用符号，因此必须对出现的每个变量进行描述，以便读者能够清楚地理解变量的定义。对于数学证明的非初学者来说，声明变量可以说是家常便饭，因此这类错误在尚未使变量声明成为习惯或者不把变量声明视为有效证明的必要条件的证明初学者中更为常见。尽管有时未声明的变量只是证明错误中的“小缺陷”，但有时它们也会导致初学者的误解。图1 是文献中发现的“未声明变量”错误的示例：

图1：错误类型---“发生了未声明的变量”

在图1中，这个陈述的目标是证明“素数有无穷多个”，这是一个众所周知的证明。然而，原因并没有在第8行证明中声明，而是出现在证明的第3行中。除了变量应该声明的原则之外，变量定义的缺乏也使得读者更难以遵循证明的思维模式，特别是当证明中出现许多变量时。

使用特殊案例作为证明

这类错误是指在证明过程中，只给出了有限数量的例子，就认为是形式证明（不是指反例的反驳）。之所以被归类为神话概念型，是因为证明的作者不清楚证明在什么条件下可以形成，并且有一个可以通过举例来作为证明的神话概念。由于证明需要满足所有可能的情况，而常见的自然数、实数或数轴、数平面上的点都具有无限元，仅部分例子无法满足数学中强调的普遍性。 Inglis和Alcock[10]提到，绘制图形作为证明实际上是一种特例，因为绘制的图形只是一种情况，因此可能还有其他可能性。但在Weber 和Czocher 的[29] 研究中，大多数参与者都意识到数学家之间对于视觉证明的有效性存在分歧。参与者认为背景对于判断证据的有效性特别重要。也就是说，参与者声称视觉证据在某些情况下是有效的，而在其他情况下则声称它是无效的。例如，62% 的参与者认为Weber 和Czocher [29] 研究中使用的视觉证据是有效的。但是，在另一种情况下，如果我们想证明的渐近线，我们无法通过画两条曲线来证明。因为这两条曲线会随着它们变大而越来越接近。用图形只能表明它们越来越近，但无法解释为什么两条曲线最终不会相交。从这个例子可以看出，绘图并不适合某些情况，而且并不是所有的情况都可以通过绘图来解释。总而言之，形式数学证明仍然必须考虑到所有可能的情况。这类错误几乎只发生在证明的初学者中，尤其是那些对形式证明有误解并且还不知道例子不能用作证明的人。图2是文献中发现的“用特殊情况作为证明”错误的例子：

图2：错误类型---“用特殊情况作为证明”的示例[5][p.114]

在图2中，本题的目标是证明“如果m是n的因数且m是p的因数，则m是n+p的因数”。证明过程只引用了一组符合这种关系的数字，认为我们有可以看出，学生有神话般的概念，可以通过例子作为形式证明。

假设结论是正确的

此类错误是指在证明过程的一开始就假设结论是正确的。这在有效的证明中从未见过。 pq 的证明目标是证明qq 或qp。它与常见的反证法不同，因为逻辑上pq等价于qp，而证明的证明是从q开始的，与这种从q开始的错误类型完全不同。之所以被归类为神话概念类型，是因为正确的证明方法（直接证明方法、反证方法、反证方法、……）不会造成这种错误类型。写这个错误类型证明的作者可能还不清楚。常见的证明方法有哪些，关于如何形成证明也存在误区。此类错误在对证明结构了解不够的证明初学者中很常见，并且可以进一步分为两个小类。以下是子类别的描述和示例：

(1) 结论既是证明的起点，也是证明的终点。

这种类型的错误意味着pq的证明目标是证明qq。一开始就假设结论是正确的，最终自然会发现结论是正确的。在没有出现其他错误的情况下，这样的证明如果只看推理过程，会发现不存在推理错误，但不符合命题的要求。图3是文献中发现的一个错误示例，其中“结论既是证明的起点也是证明的终点”：

图3：错误类型——“结论既是证明的起点又是证明的终点”示例[24][p.4]

在图3 中，本题的目标是证明“如果x 和y 都是正偶数，则x + y 是偶数”。证明过程首先假设x + y 是偶数。当然最后会证明x+y是偶数。但这并不是与命题一致的有效证明。

(2) 证明方向相反

这种错误类型意味着pq的证明目标是证明qp。最初的目标是证明q 为真，但事实证明p 为真。这自然是一个错误的证明。这种结论与上一种既是证明的起点又是证明的终点的结论很相似，但仍然不一样。除了得出一个是q、一个是p的结论外，前一种类型的推理过程大多是正确的，但这种类型则不一定正确，因为pq不等于qp。即使pq正确，也不能保证qp正确。图4是文献中发现的一个“证明方向相反”的错误示例：

图4：错误类型---“证明相反方向”示例[20] [p.510]

在图4中，这道题的目标是证明“如果m和n是整数并且mn是奇数，则m是奇数并且n是奇数”。证明过程首先假设m是奇数，n是奇数，最后证明mn是奇数。因为两个奇数相乘确实是一个奇数，所以本题证明过程的逻辑推论是正确的，但不符合命题的要求，不是有效的证明。

特殊证明结构不清楚

这类错误是指学生不熟悉一些特殊的证明技巧，不清楚证明结构，从而无法正确写出证明。特殊的数学证明方法有其自己的结构，例如数学归纳法、矛盾证明、矛盾证明和等价叙述证明。此类错误在对特殊证明结构了解不够的证明初学者中很常见。对于比较常见的错误，可以进一步分为两个小类。以下是子类别的描述和示例：

(1)等价陈述的证明方法不明确

这种错误类型意味着不清楚如何证明等价陈述。它被归类为神话概念类型，因为写出这种错误证明类型的作者对于如何完成等价叙述的证明有一个神话概念。等价陈述的要求是，如果一个陈述为真，则必须可以推断其他陈述为真。例如：如果要证明A、B、C这三个陈述是等价的陈述，大致有两种正确的证明方法。一种是环型证明，证明“A B”、“B C”、“C A”，另一种是证明成对描述是充要条件“A B”且“BC”（如果这两个关系成立，那么“AC”就已经隐含在其中，所以不需要进一步证明）。 Stavrou[24]曾提到，在证明充要条件时，学生往往只证明一个方向，而没有证明另一个方向。事实上，充要条件证明是等价叙述证明的一个特例。充分必要条件是两个叙述是等价叙述。因此，在这种分类中，将充要条件放宽为对等叙述更符合实际情况。图5是线性代数中“等价陈述的证明方法不清楚”的例子：

图5：错误类型---“等价陈述的证明方法不清楚”示例

在图5中，虽然成功证明了“12”和“23”，但10行证明并不是等价叙述性的完整证明，因为等价叙述性证明需要满足：如果某个叙述是正确，一定可以推断其他叙述是正确的。在这个例子中，仅仅做到了当命题(1)成立时，则命题(2)和(3)成立，并且当命题(2)成立时，则命题(3)成立。如果命题(3)成立，则无法证明命题(1)和(2)成立(也无法说明命题(2)可以推导出命题(1))。关于等价陈述证明的另一个常见误解是初学者错误地认为他们需要直接证明单个陈述是正确的。图6是线性代数中等价陈述的命题。这个例子可以用来说明学生是否错误地认为等价陈述是正确的。价叙述证明是直接证明个体叙述。证明过程中会遇到哪些困难：

图6：等价陈述的命题

图6是等价陈述的命题。目标应该是证明当陈述（1）为真时，陈述（2）也为真，并且当陈述（2）为真时，陈述（1）也为真。如果一个学生错误地认为他想证明以下两个陈述都是正确的，那么这个命题就会变成一个错误命题。因为只有当V 没有非平凡子空间时（即V 的子空间只有零空间和它本身），命题（1）和（2）才一定为真。如果V 具有非平凡子空间，则所选子空间将不会同时满足语句（1）和（2）。由于命题是错误的，无论学生如何努力证明它，他们永远无法得到正确的证明。他们更有可能错误地认为自己找到了反例，但实际上他们对等价陈述的证明方法存在误解。

(2) 数学归纳法的初始状态无法迭代推导

数学归纳法具有独特的两阶段证明结构：基础步骤和归纳步骤。其中，归纳步骤就是迭代推理。目的是希望通过这个过程，证明目标能够满足从起始值开始的所有情况。如果感应步骤除起始值以外均正确，则可能会出现此类错误。这类谬误经常出现在流行的数学文章中，作者的意图是通过这样的矛盾和有趣的结果来震撼读者的逻辑思维。之所以被归入神话概念类型，是因为看不到此类错误的读者对数学归纳法的运行方式还不够了解，仍然存在一些神话概念。图7是文献中发现的一个“数学归纳法的初始状态无法迭代推断”的错误示例：

图7：错误类型---“数学归纳法的初始状态无法迭代推导”示例[p.41]

在图7 中，该问题的目标是证明“任意n 个人有相同的生日”。显然，这是一个伪命题，所以证明一定有错误。第一步的起始值没有问题，因为一个人当然只有一个生日。在数学归纳法的归纳步骤中，这种推理也是正确的，但必须建立在k2的前提下。如果《任意两个人的生日是同一天》成立，自然就会推导出《任意三个人的生日是同一天》。但显然，“任意两个人的生日相同”是错误的，因为在第3行中，如果将k替换为1，可以看出该说法不合理。无法从《任何一个人的生日都是同一天》 推断出《任何两个人的生日都是同一天》 。因此，本例中的归纳步骤不适用于n=1至n=2。

对定义的误解

此类错误意味着学生对证明中使用的数学定义有误解。他们可能不清楚符号或定义。例如，他们无法区分“属于”和“包含在”，并且不理解自然数。定义、一对一和本体属性之间的混淆…。这种类型强调对符号或定义的误解，而不是对前四类证明的误解。这种类型的错误更容易发生在证明的初学者中，因为初学者对符号和定义的误解不太常见。有很多初学者。图8是文献中发现的“定义误解”的一个例子：

图8：错误类型——“定义的误解”示例[30][p.1115]

在图8 中，本题的目标是证明“函数f 存在”。然而，学生证明了函数f是一对一的（最后一行表明学生认为这是onon的证明）。可以看出，该学生混淆了one-to-one和onto的定义，对专有名词也不清楚。自然地，不可能为的定义写出正确的证明。

(2) 错误类型的推导

推导错误包括三个子类型。虽然有3个子类型，但主要原因是推导不正确。由于行与行之间的推断不正确（包括不清楚的解释），它们被归类为推导错误类型。简而言之，证明的前一行或多行中的论点不能外推到下一行[11]。对于初学者和数学家来说，在证明中都可能出现推导错误。子类型详细如下：

认知差距

“认知差距”是指在证明过程中，从上一行推到下一行，这被认为需要更详细的解释。 “认知差距”的特点是，如果只看逻辑推理过程，是正确的，会满足题目的要求。之所以被认为“错误”，是因为两条线之间的关系不够明确，没有解释。因此，如果有些读者认为无需解释就可以清楚地推断出两条线之间的联系，那么读者就不会认为有错误。 “认知差距”是少数几种有些读者认为是错误的、有些读者认为是正确的类型之一。就看读者是否相信台词之间的派生关系解释清楚了。然而，写“认知鸿沟”的作者不同，无论是学生还是学者，其背后的原因也不同。当学生写出的内容让老师认为存在“认知差距”时，通常是因为老师觉得学生的推论解释得不够清楚，或者学生证明到一半发现自己不知道如何证明。得出结论，所以他直接把结论写在下一行。形成一个逻辑上合理的证明。如果学者们写的存在“认知差距”，通常有两个原因。一是让读者更多地思考教材，让读者更多地参与到证明文本中[17]；另一个是学者们自己认为这个推论是显而易见的。英格利斯等人[11]相信这就是“认知差距”经常出现在教科书或期刊中的原因。本研究中讨论的“认知差距”特指学生造成的错误。图9是文献中发现的带有“认知差距”的错误示例：

图9：错误类型---“认知差距”示例[22][p.17]

在图9中，这道题的目的是证明“如果是3的倍数，则n是3的倍数”。证明过程仅从“nn=3x”获得“3|n”。虽然逻辑推理的点是正确的，但试题是解释如何从“3|”得到“3|n”，但学生并没有详细解释原因，所以这题的错误在于解释还不够清楚。上一段提到的“认知差距”类型的错误可能会被读者认为是正确的，文献中的实证数据也证实了这一观点。由于样本是证明和确认能力不足的学生，因此结果验证可能会更值得怀疑，可能会认为能力不足而判断此类错误是正确的。因此，仅找到有关专家样本的信息。在Inglis和Alcock的研究中[10]，要求12位数学家验证和确认这个证明，其中5人认为该证明有效，7人认为该证明无效。可见，即使是数学家，对于这类错误也可能因人因地而异。

性质或定理的误用

“滥用性质或定理”是指在证明过程中，某一行的推论是错误的，推论的因果关系不成立。原因是性质或定理的错误使用。 “误用性质或定理”和“认知差距”的区别在于，“认知差距”的推论是正确的，但没有写出需要详细解释的原因，而“误用性质或定理”则是推理错误。尽管存在错误，但它们可以用神话的概念来解释。这可以被视为关于性质或定理的神话概念，但它与上面提到的专指定义或证明结构的神话概念类型不同。这里强调的是，这是一个推论错误。图10 是文献中发现的“属性或定理的误用”示例：

图10：错误类型---“滥用属性或定理”的示例[3] [p.128]

在图10中，这道题的目的是证明“当n趋近无穷大时，它也会趋近无穷大”。在误用性质或定理之前，证明过程还包含其他错误，例如：第一行“”。这个公式并不总是正确的，a、b、m需要明确定义，这是“出现未声明变量”的类型错误；对于第三行的n，没有指定它属于哪个集合，这也是一个“发生未声明变量”类型的错误。虽然前三行的推论有缺陷，但第三行“”的性质是正确的，并且在第三行“”中推导出第四行，当n趋近无穷大时，它也会趋近无穷大。 “性质或定理的误用”。因为“”只能表明它是自然数域中的增函数，但增并不一定发散（例如上面设f为增函数，但它不会发散到无穷大，而是收敛到0 ），所以它是“定理的性质或滥用”。神话概念型的错误强调的是连定义都没有理解，而“误用性质或定理”则是指错误地使用性质和定理。在这个例子中，学生错误地认为“函数增一定发散”的性质，从而导致错误的推论。

考虑不完整

“考虑情况不完全”是指证明过程中某条线的推论是错误的，推论的因果关系不成立。原因是在推断的时候，对讨论进行了分类，但是遗漏了一些情况，导致了推断的错误。 “不完全考虑”与“误用性质或定理”的区别在于，“误用性质或定理”强调在推理过程中使用了错误的性质或定理，并且如果推理过程中存在分类和遗漏，那么就属于“考虑情况不全面”，这里特别强调的是分类不全面。图11是“不完全考虑”的示例：

图11 是一个不完整考虑的示例。第5行中，“k、k+2、k+4不全是素数”表示k、k+2、k+4中至少有一个不是素数，但第6、7、8行中

行中， 学生认为至少有一个是质数， 缺少考虑” k , k + 2 , k + 4 都是合数“。虽然可能会有读者认为该学生错误解读” k , k + 2 , k + 4 并非都是质数“。若是至少有一个不是质数， 在分类时应该是分别讨论 k 不是质数、 k + 2 不是质数、 k + 4 不是质数， 而非该学生分类的 k 为质数、 k + 2 为质数、 k + 4 为质数。然而， 我们可以试想一种情境， 如果今天是学生拿着这份答案来询问为何有错？单纯只回答「因为学生想法解读有误」， 好像不是一个准确的回答。就好像要如何说命题是错的， 举反例是最直接指出错误的方法， 通常不会去质疑错误命题的想法。因此， 对于图 11 之例， 要如何回应学生的 图11：错误类型 --- 「考量情况未完整」之例 错误何在？单纯要找证明内容出现的瑕疵， 最直接的就是「这样的分类讨论会少讨论到 k , k + 2 , k + 4 都是合数」， 这也是研究者将此例作为考量情况未完整范例之原因。 当然， 若是从教学的角度思考， 在提出此证明错误之处后， 就可以再跟学生提醒犯错的起源 ：学生解读叙述” k , k + 2 , k + 4 并非都是质数的错误。这样一来学生就能知道， 从证明内容来看， 为什么这不是一个正确的证明（因为某些情况没有讨论到）， 以及为什么会导致这样的内容出现（因为解读叙述错误）。 （三） 其他类型 其他一类意指较不合适使用迷思概念或是推导错误来解释证明错误发生之原因， 考量到学生所书写出的证明， 的确有发生这类错误之可能性， 故研究者特别建此分类。其他类型的证明错误内含两种子类型， 对于子类型的详述如下： 无逻辑性推论错误 「无逻辑性推论错误」意指证明过程出现推论错误， 但其推论所使用的因果关系异于一般会出现的理由， 甚至可说是将毫无关连的两件事当成因果。此类型错误常见于学生在不会书写证明时， 只好随意将不相干的事实或性质凑在一起。「无逻辑性推论错误」与「性质或定理误用」、「考量情况未完整」的差别在于：「性质或定理误用」是误用了不合适的定理或是错误的性质， 而「考量情况未完整」 专指证明过程中分情况讨论， 却遗漏了某些状况没提及， 但「无逻辑性推论错误」则是文中呈现的因果关系悖离合理性， 甚至会让读者觉得作者乱写。图 12 是文献中发现有“无逻辑性推论错误”的错误例子： 图12：错误类型 --- “无逻辑性推论错误”之例 [22][p.12] 在图 12 之中， 此题目标是证明「若为 3 的倍数， 则 n为3的倍数“。在证明叙述的第一行提及假设为可被 3 整除的正奇数」， 但在第二行却忽然写出”」的叙述。其一是这两行无法对应， 第二行与第一行存在矛盾; 其二是第二行的叙述没有解释为何n可以被 3n+1取代。突然出现第二行的式子， 会让读者摸不着头绪， 因为”」使用了同样的变数 n， 一般会出现这样的式子只有两种可能（合理的）：一是探讨数学的方程式， 另一是写程序时的叙述。但在此处， 都与这两种可能相去甚远， 因此被归类于「无逻辑性推论错误」。而此例在后续的讨论也是犯了同样的错误， 在假设为可被 3 整除的正偶数」的情况中，写到”」， 一样会让人摸不着头绪， 而之后的「因为 ， 推得n为 3 的倍数」， 都是无逻辑性也是悖离合理性的错误。 10.笔误、 计算错误 「笔误、计算错误」意指证明过程中发生错误的原因来自笔误或计算错误， 虽然证明较着重逻辑推导关系正不正确， 但笔误或是计算错误也可能是导致证明出错的原因。此类型错误常见于计算类型的证明之中， 例如图 8 之例需对函数做计算， 在移项或是处理分母时， 便有出现计算错误的可能。而笔误、计算错误与其他类型错误的差别在于：笔误、计算错误有可能只是整篇证明中的小瑕疵，经过简单修正之后或许能得到正确的证明， 而其他类型错误的修正可能需要大幅度更动， 例如「认知差距」需要多加解释; 「性质或定理误用」需要改用正确的性质或定理; 「考量情况未完整」需要补足当初漏掉的情况。如果只探讨证明有误的情形（命题正确）， 表示证明书写的结果看似会符合命题（但过程有瑕疵）， 「笔误、 计算错误」在此处算是小错误。但如果是探讨命题可能有误的情形， 当觉得命题错误时需在书写过程提出反例，那「笔误、 计算错误」就会是很严重的错误。因为反例只要一个就能推翻命题， 而笔误或计算错误可能会产出一个自以为是反例的结果。 三、结论与建议本文介绍并分类了不同类型的证明错误。对于读者或数学教育工作者来说， 了解证明错误类型的好处在于：在书写数学证明时更不容易犯错， 并且可以为大学教师确认学生的证明和设计教材提供参考。例如证明确认的学习任务， 证明确认即判断证明的正确性[17] ， 给定一个命题与已经写好的证明过程， 但证明过程正确与否为未知。任务参与者需在阅读证明过程后， 去进行判断， 确认该证明过程是否正确符合证明命题， 可否为证明命题之证明[22] 。如果教师想设计一个证明确认的学习任务， 并且题材默认是无效证明， 教师就可以从这些错误类型介绍中选择自己希望出现在试题中的错误类别， 然后再设计任务的证明内容。 需特别注意的是， 在使用本文的分类审查证明错误时， 读者需要注意在证明中发生的错误可能包含一种或多种错误类型。例如图 13 是文献中一个证明有两个错误的说明： 图13：一个证明中出现两种错误类型之例[30] [p.1114] 在图13之中， 此命题的目标是证明函数 f 为one-to-one“。第1行的 a 1 和 a 2 出现时没有宣告， 此例恰能表现出学生对于未宣告变量的错误理解， 进而导致证明不正确。如果有宣告， 其实此例停在第 4 行就可以得证函数 f 为 one-to-one。但从第 5 行开始的书写过程， 可看出学生并不清楚和的含意， 反而将数字代入而得到函数 f 不为 one-to-one 的错误结论。单纯由此例看来， 这位学生可能不知道如何证明一个函数是 one-to-one。因此， 本例中出现了两种错误类型：「出现未宣告变量」、「对定义的误解」。 本文提供相对于过往文献较完整分类之证明错误类型介绍， 同时兼具宏观性与微观性， 在三大分类之下还细分不同子类型， 希望能提供给读者更方便地进行错误类型说明和文本设计。表 2 是将绪论中提及过往文献曾描述之错误类型归类至本文分类， 显示本文之分类考量的确涵盖这些文献之错误类型。 表2：证明错误类型与过往文献曾提及错误对照表 值得一提的是， 本文所提供的证明错误分类， 仅仅以证明成品来分类， 不一定能完全反映写证明作者之想法， 不宜过度推论。例如遇到可能对应多种类别的错误时， 其产生原因只有原作者知道， 需要进一步访谈才能确定真正的原因为何。而对于未来的相关研究方面， 今后可进一步对错误分类进行研究， 比较不同类型的错误， 探讨面对不同错误类型， 学生的表现有无不同？或是从学习的角度切入， 对产生不同类型错误的学生提出相关的学习建议。 参考文献 [1]国家教育研究院。十二年国民基本教育课程纲要：数学领域。新北市：国家教育研究院， 2018。 [2]许介彦。数学归纳法使用上易犯的错误。数学传播季刊， 26（1）， 77-82， 2002。 [3]L. Alcock and K. Weber, Proof validation in real analysis: Inferring and checking warrants, The Journal of Mathematical Behavior, 24(2005), 125-134. [4]D. Alibert and M. Thomas, Research on mathematical proof, in D. Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking (pp.215-230). Dordrecht, the Netherlands: Kluwer Academic Publishers, 1991. [5]S. K. Bleiler, D. R. Thompson, D. R., and M. Krajcevski, Providing written feedback on students' mathematical arguments: Proof validations of prospective secondary mathematics teachers, Journal of Mathematics Teacher Education, 17(2014), No.2, 105-127. [6]M. De Villiers, Rethinking Proof with the Geometer's Sketchpad, Emeryville, CA: Key Curriculum Press, 1999. [7]R. Friedberg, An Adventurer's Guide to Number Theory, New York, NY: Dover Publications, 1968. [8]P. O. Haavold, Impediments to mathematical creativity: Fixation and flexibility in proof validation, The Mathematics Enthusiast, 18(2021), No.1, 139-159. [9]G. Harel and L. Sowder, Toward comprehensive perspectives on the learning and teaching of proof, in F. K. Lester, Jr. (Ed.), Second Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning (pp.805-842). Greenwich, CT: Information Age Publishing, 2007. [10]M. Inglis and L. Alcock, Expert and novice approaches to reading mathematical proofs, Journal for Research in Mathematics Education, 43(2012), No.4, 358-390. [11]M. Inglis, J. P. Mejia-Ramos, K. Weber, and L. Alcock, On mathematicians' different standards when evaluating elementary proofs, Topics in Cognitive Science, 5(2013), No.2, 270-282. [12]Y.-Y. Ko, Mathematics teachers' conceptions of proof: Implications for educational research, International Journal of Science and Mathematics Education, 8(2010), No.6, 1109-1129. [13]Y.-Y. Ko and E. J. Knuth, Validating proofs and counterexamples across content domains: Practices of importance for mathematics majors, The Journal of Mathematical Behavior, 32( 2013), No.1, 20-35. [14]Y. Lai and K. Weber, Factors mathematicians profess to consider when presenting pedagogical proofs, Educational Studies in Mathematics, 85(2014), 93-108. [15]Y. Lai, K. Weber, and J. P. Mejia-Ramos, Mathematicians' perspectives on features of a good pedagogical proof, Cognition and Instruction, 30(2012), No.2, 146-169. [16]K. Lew, T. P. Fukawa-Connelly, J. P. Mejia-Ramos, and K. Weber, Lectures in advanced mathematics: Why students might not understand what the mathematics professor is trying to convey, Journal for Research in Mathematics Education, 47(2016), 162-198. [17]N. Marco, A. Palatnik, and B. B. Schwarz, Mind the gaps: Gap-filling in proving activities, For the Learning of Mathematics, 41(2021), No.2, 21-25. [18]National Council of Teachers of Mathematics, Principles and Standards for School Mathematics, Reston, VA: NCTM, 2000. [19]National Council of Teachers of Mathematics, Focus in High School Mathematics: Reasoning and Sense Making, Reston, VA: NCTM, 2009. [20]R. A. Powers, C. Craviotto, and R. M. Grassl, Impact of proof validation on proof writing in abstract algebra, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology , 41 (2010), No.4, 501-514. [21]A. Samkoff and K. Weber, Lessons learned from an instructional intervention on proof comprehension, The Journal of Mathematical Behavior, 39(2015), 28-50. [22]A. Selden and J. Selden, Validations of proofs considered as texts: Can undergraduates tell whether an argument proves a theorem Journal for Research in Mathematics Education, 34 (2003), No.1, 4-36. [23]B. Shongwe, Learners' beliefs about the functions of proof: Building an argument for validity, Educational Studies in Mathematics, 107(2021), 503-523. [24]S. G. Stavrou, Common Errors and Misconceptions in Mathematical Proving by Education Undergraduates, Retrieved January 19, 2022, from http://www.k-12prep.math.ttu.edu/journal/1.contentknowledge/stavrou01/article.pdf, 2014. [25]J. C. Stockton and N. Wasserman, Forms of knowledge of advanced mathematics for teaching, The Mathematics Enthusiast, 14(2017), 575-606. [26]G. J. Stylianides, A. J. Stylianides, and K. Weber, Research on the teaching and learning of proof: taking stock and moving forward, in J. Cai (Ed.), Compendium for Research in Mathematics Education (pp.237-266). Reston, VA: NCTM, 2017. [27]D. A. Stylianou, M. L. Blanton, and E. J. Knuth, Introduction, in D. A. Stylianou, M. L. Blanton, and E. J. Knuth (Eds), Teaching and Learning Proof Across the Grades: A K-16 Perspective (pp.1-12). New York, NY: Routledge, 2009. [28]K. Weber, Mathematicians' perspectives on their pedagogical practice with respect to proof, International Journal of Mathematics Education in Science and Technology, 43(2012), 463-482. [29]K. Weber and J. Czocher, On mathematicians' disagreements on what constitutes a proof, Research in Mathematics Education, 21(2019), No.3, 251-270. [30]A. Wheeler and J. Champion, Students' proofs of one-to-one and onto properties in introductory abstract algebra, International Journal of Mathematical Education in Science and Technology, 44(2013), No.8, 1107-1116. [31]D. A. Yopp, How some research mathematicians and statisticians use proof in undergraduate mathematics, The Journal of Mathematical Behavior, 30(2011), No.2, 115-130.