美国留学

分析思路的形成，为什么会想到旋转变换？

老师给学生讲解题目，当然是为了让学生理解，但这个过程并不是很愉快。普通班级的学生听完老师的题目后，只能完全理解其中的一部分。即使这些理解的学生也永远无法完全理解该主题。当面对同类问题时，不能保证你的思维不会受阻。

那么，到底是什么问题呢？有没有办法让老师讲课的话题真正让学生能够理解和掌握呢？

例子

如图，O为ABC内一点，OBC=60，AOC=120，OA=OC=13，OB=1，则边AB的长度为______________

分析：

由于图比较简单，而且已知的条件都包含特殊的角，所以从这些条件出发，我们先看看哪些边可以很容易找到。以此为起点，观察OBC。在这个三角形中，两边都是已知的，并且一个角也是已知的。要知道，特别是这个角是特殊角，构造一个30角的直角三角形是非常容易的，所以不妨从O点到BC点画一条垂线，如下图：

在左边的BOE中，我们可以找到BE=1/2，OE=3/2，那么在右边的COE中，我们可以利用勾股定理找到CE=7/2，所以BC=4.

这个时候一般都会遇到障碍。注意一对等边OA 和OC。他们的角度是120。 OA可以看成OC绕O点逆时针旋转120，OC所在的如果已知BOC的三边，是否可以将整个BOC绕O点旋转120？如下所示：

将B点绕O点逆时针旋转120得到D点，连接BD、OD、AD。显然BOCDOA，ADO=OBC=60，而BOD是一个顶角为120的腰三角形，所以它的底角ODB=30，正好ADB=90，所以在RtABD中，我们可以尝试求出AB的长度。由旋转可得BC=DA=4，对于顶角为120的等腰三角形，底边为腰长的3倍，故BD=3，AB=19勾股定理。

既然刚才思考过程中涉及到轮换，那么是不是一定要从OC轮换到OA呢？不一定，我们也可以将OA旋转到OC，然后相应旋转AOB，如下图：

只是改变了方向，解决方法和上面的方法一模一样。

反思解决问题

这道题，作为老师，在解题过程中自然会想到轮换。毕竟自己积累了比较多的解决问题的经验，问题条件也比较明显，很容易引发轮换的想法。例如，120角的两边相等。即等腰三角形。事实上，基于等腰三角形的旋转变换还有很多。也就是说，在完成类似的旋转构造全等三角形后，我们要及时进行课堂小结，将等腰三角形与旋转变换联系起来，并在学生心中留下印象。

一个印象如何成为后续的思路？也许变体训练是一个好方法。我们追求趁热打铁是对的，但热气却无法冷却。布置作业时，不能受章节内容的限制。以旋转变换为例。八年级学习了它之后，在以后的所有作业中，它都会时不时地出现，以免学生因为很久没有使用它而忘记它。

然而，随之而来的另一个问题是，数学中有很多方法。如果每种方法都留下这样的“后遗症”，功课量就太大了。解决办法是测试学生的掌握程度。经过一段时间后，学生在变式训练中仍能有效运用该方法即可判定已掌握该方法，今后的作业中不会再出现类似的试题。

显然这个任务只能通过老师批改作业来完成，所以批改作业时除了打勾之外，还要判断学生是否掌握了某种方法。未来，作业个性化是趋势，作业的分层布置将更加精准。最好的模式是每个学生的作业都是不同的。这已经在一些学习应用程序中实现了。技术并不难。困难在于观念的更新。

我们通常把解决问题的思路形容为一张大网，结果就是鱼。能否钓到鱼，要看网是否有漏洞，以及撒网方向是否正确。茫茫大海上，在哪里撒网以及如何在这里撒网，是能否捕鱼的关键因素。