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距离高考还有30天。今天我就给大家带来一些令人耳目一新的美国高考题。

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距离高考还有30天。今天我就给大家带来一些令人耳目一新的美国高考题。

1982年5月1日美国高考数学试卷中有这样一道题——

我们先回顾一下这个问题。这题说小圆的半径只有大圆的三分之一。如果小圆圈绕着大圆圈滚回到原来的位置，它会转多少圈？

有5个选项，不用翻译大家都能明白。

抛开答案不谈，你会选择什么？

相信很多人都会选B。问这个车祸现场问题的人也考虑到了这一点。

如果把大圆的周长拉直，它的长度应该是小圆周长的三倍，那么小圆就会绕着它滚动三圈，对吗？

不。

如果你不相信，我们就来尝试一下。

你看，当小圆圈绕着大圆圈转了四分之一圈时，它就已经绕了一整圈了。 ——

如果你绕大圈一圈，小圈实际上绕了四圈。所以正确答案是4，它不在任何选项中。

根据美国高考主考官大学理事会随后的声明，美国高考主考官给出的答案是错误的。在当时参加考试的三十万名考生中，只有三名考生给出了正确的答案。回答。

最后，很明显，大学理事会犯了一个错误。除了那三个人之外，所有人的分数都被扣除了。

《纽约时报》报道1982年5月25日高考数学题出错事件（白框）

30万人中只有3人答对了。事实上，这种现象是如此不可思议，以至于在数学上也被命名为——硬币悖论。

如果我们玩两个半径完全相同的圆，我们会发现当其中一个绕另一个圆旋转半圈时，它实际上旋转了360 度。如果它绕另一个圆转了一整圈，则它旋转了720 度，即2 圈。

此类问题有常规解决办法吗？事实上，是有的。答案是：以旋转圆为中心所画的圆的半径与这个圆的半径之比。下图中，就是绿色圆圈的半径与小圆圈的半径之比。

以1982年高考题为例，公转圆的圆心轨迹是一个圆，它的半径是小圆的4倍，所以旋转了4圈。

如果两个圆的直径相同，则旋转圆的中心所绕的圆周路径的半径是其直径的两倍，因此转了2圈。

那么硬币悖论是如何产生的呢？

我们来画一下重点。硬币悖论的本质是，旋转圆的每个点所画的路径不是圆，而是肾形——肾形线的形状。

肾形线（红色）

如果两个圆的半径相等，那么该轨迹就是另一个器官——的心线。孔子说，根据视角的不同，这条线也可以看作是对接线。

心线（蓝色）

事实上，解决硬币悖论的思路也可以用来解决亚里士多德在公元前4世纪提出的另一个绊倒很多人的悖论。

在《论力学》（《力学》）一书中，带着诸多疑问的亚里士多德向大家提出了这样一个问题：

半径为R的轮子在地面上滚动。如果不发生滑动摩擦，轮子上各点所走过的距离是2R，对吗？

这个轮子可以看成是许多个小轮子一个接一个嵌套起来的。小轮与大轮之间没有滑动摩擦。大轮滚动一圈，小轮也滚动一圈。但小轮的半径r明显小于大轮的半径。为什么小轮上任意一点的行走距离也是2R？

这个悖论也被称为亚里士多德的轮子悖论。两千多年来，这个问题一直成为许多世界著名理科学生的挑战。

举个例子，伽利略的解决办法是，如果把圆形的轮子看成是多条边的多边形，那么小轮子滚动的时候就会跳过一些间隙……总之，这就是伽利略的意思——

当多边形滚动时，中间小多边形上的任意一点向前跳跃，并没有完成大多边形的整个行程。伽利略由此推断出圆也是如此。

这个问题使他确信，在这种情况下，轮子是由具有无限孔隙的材料制成的，因此物质必定是由非常小的粒子，即原子组成的。

等等，教练，你还能这样推原子论吗？ （叔叔“嗯”的音效）

但用美国高考做题的思路，我们可以超越伽利略的无限“洞”，得到这个悖论的解决方案。

事实上，与直觉相反，大圆上每个点所走过的路径长度不是2R，而是大于2R。如果你画这样的线，你就会秃头。

这条线称为摆线。

同理，小圆上各点所画的轨迹也不是直线，而是摆线。然而，小圆的摆线长度比大圆的摆线长度短。因为当圆滚动一周时，摆线的长度是半径的8倍。

亚里士多德的这个悖论也可以引出集合论中的一个推论：无论两条线段有多长，它们的点数都是相同的；任何线段上的任何点都有相同的点数。可以在另一条线段上找到对应部分。

这个推论对于整数成立：所有偶数的数量等于所有整数的数量。

话虽如此，屁股线其实在生活中是很常见的。

相信大家都看到过圆杯内液体表面反射出的柯基屁股形状的光点。 ——

锥形杯中液位心线

这是臀线的形状。这是因为，当入射光平行于圆锥体的斜边，即杯壁时，圆锥体的回波线（光束射到曲面上被反射回来的线）为屁股线。

在液面处，入射光在锥形杯壁上的反射光可视为点光源，会形成新的心线形返回线。

屁股线还涉及到一个大家在日常生活中都很熟悉的现象，但是仍然不明白其中的原理。

歌手唱高音时为什么要把麦克风拿得很远？

其实这是因为大多数麦克风，即流行了50年的SM58麦克风，接收到的声音范围是屁股线勾勒出的屁股形状。

大多数麦克风都是心形的，这意味着只有心形区域的声音才能被有效接收。

这种麦克风也称为心形指向，可以有效阻挡麦克风后面的声音，例如观众的声音。因此，当歌手想让歌迷跟着唱时，就必须将麦克风指向观众。

心形麦克风可以有效阻挡麦克风后面的声音

心形麦克风的另一个特点是，当握得太近时，会产生邻近效应，——的低音会被放大。相反，当你把它拿得远一些时，低音炮的声音就会减弱。因此，在吹高音时，为了突出高音，KTV歌手都会把麦克风拿得远一些。

来看看这位大哥的现场演示——

邻近效应：当心形麦克风靠近声源时，低音会被放大，反之亦然。

全向麦克风，即能够接受以麦克风为中心的球内声音的那种，则不存在这种现象。

明白了，学好数学，喝奶茶，唱K，他们都会记住你的形状。

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作者简介：文章发表于2020年6月7日，微信公众号《把科学带回家》（这道美国高考数学题，30万人中只有3人答对，连出题人都答错了） ），《风之声》经许可转载。

责任编辑：孙源