美国留学

我之前在今日头条发布了如下美国数学高考题，没想到竟然收到了25万的浏览量和858条评论。前几天，我在文章中也谈到了这个问题，指出张东升在《隐秘的角落》画的错误的心形线，也引起了很多讨论。现在，是时候对这个问题做出解释了。

问题是这样的：

小圆的半径是大圆的1/3。大圆圈是静止的。小圆圈绕着大圆圈滚动并返回到原来的位置。小圆圈转了多少圈？

这道题的正确答案是4个圆圈。之所以30万人中只有3人回答正确，是因为选项中没有出现正确答案。问这个问题的人真是把大家都搞砸了。事实上，这个问题也被称为“硬币悖论”，即结果与人们的直观认知相反。

对于这个问题，很多人认为答案应该是3个圆，因为大圆的周长是小圆的三倍。对于4个圆圈的正确答案有多种解释。下面我将一些主要答案一一解释。

1、自转与公转理论

小圆圈自转3圈，绕大圆圈转1圈，共转4圈。

这个答案堪称最具欺骗性的答案。听起来很有道理，4圈的答案也是正确的，也接近地球自转和公转的理论。好吧，大家都这么说，那我就假装明白了。估计回答第4圈的人有一半以上这么认为，但实际上他们根本没有深入思考过。

是不是真的？我们先来看看这个问题问的是什么？

问题问小圆自己转了多少圈，即小圆绕自己的圆心转了多少圈。这就是旋转的概念。如果我们说3 次旋转，那么答案应该是3 次旋转。公转讲的是小圆绕大圆圆心转，与自转无关。事实上，即使小圆不旋转，它仍然可以绕大圆的中心公转。在这道题中，小圆确实绕着大圆转了一圈，但这与小圆绕自己的轴旋转了多少次无关。因为小圆圈旋转了4圈。也就是说，小圆圈自转4圈，公转1圈。

2、圆心轨迹法

小圆圆心的运动轨迹也是一个圆，半径为4r，所以走过的长度是8r。小圆每旋转一周，圆心就移动2r，所以它旋转了4圈。

如果小圆圈在平地上滚动，它每移动2r，确实会绕圆心转一圈。

但说到绕大圆滚动的问题，首先要证明圆心走了2r的长度，小圆绕圆心旋转了360的结论。即如下图所示，小圆的圆心已经走了2r的距离，正好是小圆圆心所在圆周长的1/4。为什么此时的小圆圈恰好绕着它的圆心转了一圈呢？如果没有证明过程，直接从平地转移结论是不明智的。

还有人说小圆上各点走过的距离等于小圆圆心走过的距离，所以这是真的。这个结论是不正确的，稍后会讨论。

3. 粒子法

质点法与圆心轨迹法类似。即把小圆看成一个质点，因此小圆的运动轨迹是一个半径为4r的圆。粒子总行程为8r，每2r 长度绕圆心转一圈，因此自转了4 圈。这个方法首先需要了解什么是粒子，其次和圆心轨迹法一样，也需要证明之前的小结论。

4、相对运动法

如果小圆和大圆有固定的圆心，像齿轮一样同时转动，则小圆顺时针转动3圈，大圆逆时针转动1圈，小圈相对于小圈转动4圈。大圆圈。现在大圆是固定的，小圆需要相对大圆旋转4次。这种解释是可能的，但相对运动对于大多数人（尤其是儿童）来说仍然太抽象。

那么，有没有更直观的解释呢？下面我给出的方法纯粹是从数学几何关系来解释的，学过角度和圆周长的高小学生应该都能理解。

5.纯几何方法

这题有一点是确定的，那就是小圆的周长是大圆的1/3。小圆在大圆上滚动了2r的长度，也就是大圆周长的1/3，滚动到下图所示的位置。此时小圆绕其中心旋转360+120=480。小圆6r的长度与大圆滚动正好滚回原点。此时已经旋转了4803=1440。 1440360=4圈。

6.心形线的长度

刚才提到，在第二种方法中，有人认为小圆上任意点走过的长度与圆心走过的长度相同。事实真的如此吗？

我们来看一条类似但更简单的心形线，即两个圆的半径相同时。在之前的文章《隐藏在《隐秘的角落》中隐藏的错误心形线》中，给出了心形线的极坐标方程表示。

此时，由极坐标方程r=2a(1-cos)和微积分可以查出心形线的长度为16a（具体计算过程如下），则心形线的中心轨迹为16a。小圆是半径为2a的圆，因此步行的长度是4a。换句话说，在这个滚动问题中，圆心经过的长度与圆上任意点经过的长度不同。

如果您有幼儿园到初中的学龄儿童，想加入数学讨论群，可以留言告知他们的年级水平。

爸爸是中科院计算机博士，曾获得全国初中、高中数学奥林匹克联赛一等奖、江苏赛区第一名，高考数学满分。现在，他是一所大学的计算机科学教授，平时专注于提高孩子的数学和计算思维。他开通了公众号xuanbamath。